الإثنين 24 فبراير 2020
الرئيسية / أولمبياد / التحدي رقم 2

التحدي رقم 2

مستوى: الجدع المشترك

  • التمارين
  • إشارة الحل
  • الحل

التمرين رقم 1:

لتكن \displaystyle {{a}_{1}} و \displaystyle {{a}_{2}} و \displaystyle {{a}_{3}} و \displaystyle {{b}_{1}} و \displaystyle {{b}_{2}} و \displaystyle {{b}_{3}} و \displaystyle {{p}_{1}} و \displaystyle {{p}_{2}} و \displaystyle {{p}_{3}}  أعداد حقيقية غير من منعدمة بحيث: \displaystyle \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}}

بين أن لكل عدد صحيح طبيعي \displaystyle n لدينا: \displaystyle {{\left( \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}} \right)}^{n}}=\frac{{{p}_{1}}a_{1}^{n}+{{p}_{2}}a_{2}^{n}+{{p}_{3}}a_{3}^{n}}{{{p}_{1}}b_{1}^{n}+{{p}_{2}}b_{2}^{n}+{{p}_{3}}b_{3}^{n}}

التمرين رقم 2:

ليكن \displaystyle c طول وتر مثلث قائم الزاوية و ليكن \displaystyle a و \displaystyle b طولي الضلعين الآخرين.

بين أن: \displaystyle a+b\le \sqrt{2}c و ادرس في أي  حالة يكون التساوي.

التمرين رقم 3:

ليكن \displaystyle ABC مثلث ظول أضلاعه هي:\displaystyle BC=a و \displaystyle AB=c و \displaystyle AC=b و لتكن \displaystyle D نقطة تقاطع المنصف الداخلي للزاوية \displaystyle \widehat{C} و الضلع \displaystyle \left[ AB \right].

بين أن:    \displaystyle CD=\frac{2ab\cos \frac{\widehat{C}}{2}}{a+b}.

التمرين رقم 4:

ليكن \displaystyle a عدد حقيقي بحيث: \displaystyle 1\le a\le 2

بين أن: \displaystyle \sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=2

  •  التمرين1: نضع \displaystyle k=\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}} و نحسب \displaystyle {{p}_{1}}a_{1}^{n}+{{p}_{2}}a_{2}^{n}+{{p}_{3}}a_{3}^{n} بدلالة \displaystyle k
  • التمرين2: استعمل مبرهنة فيتاغورس \displaystyle \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}} \right) و لاحظ أن \displaystyle {{(a-b)}^{2}}\ge 0
  • التمرين3: استعمل المساحة
  • التمرين4: لاحظ أن \displaystyle a\pm 2\sqrt{a-1}=(a-1)\pm 2\sqrt{a-1}+1

 

حل التمرين رقم1:

نضع :\displaystyle k=\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}} و منه \displaystyle {{a}_{1}}=k{{b}_{1}} و \displaystyle {{a}_{3}}=k{{b}_{3}} و \displaystyle {{a}_{3}}=k{{b}_{3}}

إذن: \displaystyle {{p}_{1}}a_{1}^{n}+{{p}_{2}}a_{2}^{n}+{{p}_{3}}a_{3}^{n}={{p}_{1}}{{(k{{b}_{1}})}^{n}}+{{p}_{2}}{{(k{{b}_{2}})}^{n}}+{{p}_{3}}{{(k{{b}_{3}})}^{n}}

 تحدي تحتحي  \displaystyle ={{k}^{n}}({{p}_{_{1}}}b_{1}^{n}+{{p}_{_{2}}}b_{2}^{n}+{{p}_{_{3}}}b_{3}^{n})

و بالتالي: \displaystyle {{\left( \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}} \right)}^{n}}=\frac{{{p}_{1}}a_{1}^{n}+{{p}_{2}}a_{2}^{n}+{{p}_{3}}a_{3}^{n}}{{{p}_{1}}b_{1}^{n}+{{p}_{2}}b_{2}^{n}+{{p}_{3}}b_{3}^{n}}

حل التمرين رقم2:

  • بما أن \displaystyle \sqrt{2}c و \displaystyle a+b موجبين قطعا فإنه لمقارنتهما يكفي مقارنة مربعيهما

و لدينا:\displaystyle {{\left( \sqrt{2}c \right)}^{2}}-{{(a+b)}^{2}}=2{{c}^{2}}-{{a}^{2}}-2ab-{{b}^{2}}

و بما أن \displaystyle c هو طول  و تر المثلث القائم الزاوية فإن \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}

يعني أن : \displaystyle {{\left( \sqrt{2}c \right)}^{2}}-{{(a+b)}^{2}}=2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})-({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab)={{(a-b)}^{2}}\ge 0

و منه النتيجة المطلوبة

  • مما سبق يكون التساوي إذا و فقط إذا كان \displaystyle {{(a-b)}^{2}}=0 أي \displaystyle a=b

حل التمرين رقم3:

geogebra-export

لتكن \displaystyle {{S}_{ABC}} و \displaystyle {{S}_{ACD}} و \displaystyle {{S}_{DCB}} هي على التوالي مساحات المثلثات \displaystyle ABC و \displaystyle ACD و \displaystyle DCB

لدينا: \displaystyle {{S}_{ABC}}={{S}_{ACD}}+{{S}_{DCB}}  \displaystyle \left( 1 \right)

و نعلم أن:\displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}ab\sin C=ab\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2} و \displaystyle {{S}_{ACD}}=\frac{1}{2}bx\sin \frac{C}{2} و \displaystyle {{S}_{DCB}}=\frac{1}{2}ax\sin \frac{C}{2}

و بالتالي: حسب \displaystyle \left( 1 \right) لدينا \displaystyle ab\cos \frac{C}{2}=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx

أي: \displaystyle CD=\frac{2ab\cos \frac{C}{2}}{a+b}

حل التمرين رقم4:

لدينا:\displaystyle a+2\sqrt{a-1}=(a-1)+2\sqrt{a-1}+1={{(\sqrt{a-1}+1)}^{2}} و \displaystyle a-2\sqrt{a-1}=(a-1)-2\sqrt{a-1}+1={{(\sqrt{a-1}-1)}^{2}}

إذن :\displaystyle \sqrt{a+2\sqrt{a-1}}=\left| \sqrt{a-1}+1 \right|=\sqrt{a-1}+1 و \displaystyle \sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=\left| \sqrt{a-1}-1 \right|=-\sqrt{a-1}+1\left( 1\le a\le 2 \right)

أي:\displaystyle \sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=2

شاهد أيضاً

التحدي رقم 1

أضف تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *