الثلاثاء 28 يناير 2020
الرئيسية / أولى علوم رياضية / المتتاليات العددية

المتتاليات العددية

المتتاليات العددية

I- متتالية عددية

تعريف

كل دالة عددية \displaystyle u معرفة على \displaystyle \mathbb{N} أو على جزء من \displaystyle \mathbb{N} تسمى متتالية عددية. و نرمز لصورة \displaystyle n بالمتتالية \displaystyle u بالرمز \displaystyle {{u}_{n}}. العدد \displaystyle {{u}_{n}} يسمى حد المتتالية \displaystyle u ذا المدل \displaystyle n، و يسمى الحد العام للمتتالية \displaystyle u.

اصطلاحات

ليكن \displaystyle I جزء من \displaystyle \mathbb{N} و \displaystyle u:I\to \mathbb{R} متتاية عددية

      ……\displaystyle n\mapsto u(n)={{u}_{n}}

يرمز للمتتالية \displaystyle u بالرمز \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\in I}} بدلا من \displaystyle u و \displaystyle {{u}_{n}} يسمى كذلك الحد الذي رتبته \displaystyle n

 2- متتالية معرفة بصيغة صريحة

تعريف

يمكن تعريف متتالية بصيغة صريحة لحدها العام بدلالة \displaystyle n، هذا الأخير يمكن من تحديد قيمة أي حد من المتتالية.

أمثلة:

  •  لتكن \displaystyle \left( {{u}_{n}} \right) المتتالية العددية المعرفة بما يلي: \displaystyle {{u}_{n}}=5n-3

المتتالية \displaystyle \left( {{u}_{n}} \right) معرفة بصيغة صريحة.

لدينا: \displaystyle {{u}_{0}}=5\times 0-3 إذن \displaystyle {{u}_{0}}=-3

…..:\displaystyle {{u}_{1}}=5\times 1-3 إذن \displaystyle {{u}_{1}}=2

…..:\displaystyle {{u}_{10}}=5\times 10-3 إذن \displaystyle {{u}_{10}}=47

3- متتالية ترجعية

تعريف

يمكن تعريف متتالية بصيغة ترجعية حيث يتم يكون تحديد قيمة أي حد من المتتالية متعلقا بالحد أو الحدود التي قبله.

أ- مثال1:

لتكن  \displaystyle \left( {{v}_{n}} \right) المتتالية العددية المعرفة بما يلي:   \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{v}_{0}}=2\\{{v}_{n+1}}=2{{v}_{n}}-1;n\in \mathbb{N}\end{array} \right.

لنحسب \displaystyle {{v}_{1}} و \displaystyle {{v}_{2}} و \displaystyle {{v}_{3}}.

لدينا: \displaystyle {{v}_{1}}=2{{v}_{0}}-1=2\times 2-1 أي \displaystyle {{v}_{1}}=3.

لديناو \displaystyle {{v}_{2}}=2{{v}_{1}}-1=2\times 3-1 أي \displaystyle {{v}_{2}}=5.

لديناو \displaystyle {{v}_{3}}=2{{v}_{2}}-1=2\times 5-1 أي \displaystyle {{v}_{2}}=9.

ب-مثال2:

لتكن \displaystyle \left( {{\mathcal{F}}_{n}} \right) المتتالية العددية العرفة بما يلي:  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\mathcal{F}}_{0}}={{\mathcal{F}}_{1}}=1\\{{\mathcal{F}}_{n+2}}={{\mathcal{F}}_{n+1}}+{{\mathcal{F}}_{n}};n\in \mathbb{N}\end{array} \right.

هذه المتتالية تسمى متتالية فيبوناتشي.

لنحسب  \displaystyle {{\mathcal{F}}_{2}} و \displaystyle {{\mathcal{F}}_{3}} و \displaystyle {{\mathcal{F}}_{4}}.

لدينا: \displaystyle {{\mathcal{F}}_{2}}={{\mathcal{F}}_{1}}+{{\mathcal{F}}_{0}}=1+1=2

لديناو \displaystyle {{\mathcal{F}}_{3}}={{\mathcal{F}}_{2}}+{{\mathcal{F}}_{1}}=2+1=3

لديناو \displaystyle {{\mathcal{F}}_{4}}={{\mathcal{F}}_{3}}+{{\mathcal{F}}_{2}}=3+2=5

4- متتالية مكبورة، متتالية مصغورة، متتالية محدودة.

تعريف:

  • تكون متتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\in I}} مكبورة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي \displaystyle M بحيث: \displaystyle \left( \forall n\in I \right){{u}_{n}}\le M
  • تكون متتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\in I}} مصغورة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي \displaystyle m بحيث: \displaystyle \left( \forall n\in I \right)m\le {{u}_{n}}
  • تكون متتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\in I}} محدودة إذا وفقط إذا كانت مكبورة و مصغورة أي يوجد عددان حقيقيان \displaystyle m و \displaystyle M بحيث: \displaystyle \left( \forall n\in I \right)m\le {{u}_{n}}\le M

5- رتابة متتالية:

تعريف:

ليكن \displaystyle p عددا صحيحا طبيعيا ، نضع \displaystyle I=\left\{ n\in \mathbb{N}/n\ge p \right\} و لتكن \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\in I}} متتالية عددية. و التي يمكن أن نرمز لها أيضا بـ \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}}

  • تكون \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\in I}} متتالية تزايدية  إذا وفقط إذا كان: \displaystyle \left( \forall \left( m,n \right)\in {{I}^{2}} \right)m\ge n\Rightarrow {{u}_{m}}\ge {{u}_{n}}
  • تكون \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\in I}} متتالية تناقصية  إذا وفقط إذا كان: \displaystyle \left( \forall \left( m,n \right)\in {{I}^{2}} \right)m\ge n\Rightarrow {{u}_{m}}\le {{u}_{n}}

خاصيات

لتكن \displaystyle \left( {{u}_{n}} \right) متتالية عددية و \displaystyle p عدد صحيح طبيعي.

  • تكون المتتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} تزايدية إذا وفقط إذا كان:        \displaystyle \left( \forall n\ge p \right){{u}_{n}}\le {{u}_{n+1}}
  • تكون المتتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} تزايدية قطعا إذا وفقط إذا كان: \displaystyle \left( \forall n\ge p \right){{u}_{n}}<{{u}_{n+1}}
  • تكون المتتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} تناقصية إذا وفقط إذا كان:       \displaystyle \left( \forall n\ge p \right){{u}_{n}}\ge {{u}_{n+1}}
  • تكون المتتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} تناقصية قطعا إذا وفقط إذا كان: \displaystyle \left( \forall n\ge p \right){{u}_{n}}>{{u}_{n+1}}
  • تكون المتتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} ثابتة إذا وفقط إذا كان:            \displaystyle \left( \forall n\ge p \right){{u}_{n}}={{u}_{n+1}}
  • تكون المتتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} رتيبة إذا وفقط إذا كانت \displaystyle \left( {{u}_{n}} \right) تزايدية أو تناقصية.

6- المتتالية الحسابية

تعريف:

ليكن \displaystyle p عددا صحيحا طبيعيا.

تكون متتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} حسابية إذا وفقط إذا كان وجد عدد حقيقي \displaystyle r (ثابيت غير مرتبط ب \displaystyle n) بحيث لكل \displaystyle n\ge p لدينا \displaystyle {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+r أي \displaystyle {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=r.

العدد \displaystyle r يسمى أساس المتتالية \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}}

خاصية 1:الخاصية المميزة لمتتالية حسابية

\displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} متتالية حسابية إذا وفقط إذا كان: \displaystyle \left( \forall n\ge p \right):2{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{u}_{n+2}}

البرهان

البرهان

خاصية 2 :الحد العام لمتتالية حسابية

إذا كانت \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} متتالية حسابية أساسها \displaystyle r فإن : \displaystyle \left( \forall \left( n,p \right)\in {{\mathbb{N}}^{2}} \right):{{u}_{n}}={{u}_{p}}+\left( n-p \right)r.

البرهان

البرهان

خاصية 3 :مجموع حدود متتابعة لمتتالية حسابية

لتكن \displaystyle {{\left( {{u}_{n}} \right)}_{n\ge p}} حسابية و \displaystyle p عددا صحيحا طبيعيا بحيث:\displaystyle n\ge p لدينا \displaystyle {{u}_{p}}+{{u}_{p+1}}+\dots+{{u}_{n}}=\frac{n-p+1}{2}({{u}_{p}}+{{u}_{n}})

البرهان

البرهان

ترميز:

نرمز للمجموع \displaystyle {{u}_{p}}+{{u}_{p+1}}+\dots+{{u}_{n}} بـ    \displaystyle \sum\limits_{k=p}^{k=n}{{{u}_{k}}}  و نكتب:\displaystyle {{S}_{n}}=\sum\limits_{k=p}^{k=n}{{{u}_{k}}=}{{u}_{p}}+{{u}_{p+1}}+\dots+{{u}_{n}}

المتتالية الهندسية

 

 

شاهد أيضاً

vectesp

متجهات الفضاء

في طور الإنجاز

أضف تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *